Sebuah persamaan berkaitan dengan kurva tertentu. Karena kurva adalah
tempat kedudukan titik-titik, maka persamaan juga dapat
ditransformasikan.
Contoh
Sebuah garis 5x - 6y = 30 ditranslasikan sebesar (-4, -1) kemudian
dirotasi sebesar 90° searah jarum jam terhadap pusat (0, 0). Tentukan
hasil transformasinya.
Transformasinya: Translasi sebesar (-4, -1), diwakili matriks
T = \begin{pmatrix}
1 & 0 & - 4 \\
0 & 1 & - 1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}.
Rotasi sebesar 90° searah jarum jam, berarti sudutnya -90°. Diwakili
matriks R = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
- 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
Hasil komposisinya:
K = R \cdot T
Karena translasi dilakukan terlebih dahulu, maka translasi ditulis di
belakang.
\begin{aligned}
K &= \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
- 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & - 4 \\
0 & 1 & - 1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}
0 & 1 & - 1 \\
- 1 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{aligned}
Sehingga fungsi transformasinya:
F(X) = \begin{pmatrix}
0 & 1 & - 1 \\
- 1 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}X
Cara pertama, karena garis lurus dapat diwakili oleh dua titik, kita
cukup menemukan dua titik tersebut dan mentransformasikannya, kemudian
mencari persamaan hasilnya.
Persamaan asli: 5x - 6y = 30
Contoh titik: (0,-5) dan (6, 0).
Hasil transformasinya:
\begin{aligned}
F\begin{pmatrix}
0 \\
- 5 \\
1 \\
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
0 & 1 & - 1 \\
- 1 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 \\
- 5 \\
1 \\
\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}
- 6 \\
4 \\
1 \\
\end{pmatrix}\\\\
F\begin{pmatrix}
6 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
0 & 1 & - 1 \\
- 1 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
6 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}
- 1 \\
- 2 \\
1 \\
\end{pmatrix}
\end{aligned}
Berarti titik (0, -5) ditransformasi menjadi (-6, 4), dan titik (6, 0)
menjadi (-1, -2).
Dengan menggunakan skala linear, persamaan garisnya bisa ditentukan:
Berarti:
\begin{aligned}
\frac{x+6}{y-4} &= \frac{5}{-6} \\
-6(x+6) &= 5(y-4) \\
-6x -36 &= 5y -20 \\
-6x - 5y &= 16 \\
6x + 5y &= -16
\end{aligned}
Berarti persamaan garis hasil transformasinya adalah:
6x + 5y = - 16
Cara kedua, menggunakan invers. Dengan cara ini kita tidak memerlukan
titik contohnya.
\begin{aligned}
F\begin{pmatrix}
x \\
y \\
1 \\
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
0 & 1 & - 1 \\
- 1 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y \\
1 \\
\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
1 \\
\end{pmatrix}
\end{aligned}
Jadi:
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & - 1 \\
- 1 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y \\
1 \\
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
1 \\
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
1 \\
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
0 & - 1 & 4 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
1 \\
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
1 \\
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
-y' + 4 \\
x' + 1 \\
1 \\
\end{pmatrix}
\end{aligned}
Sampai sini, didapat:
\begin{aligned}
x &= -y' + 4\\
y &= x' + 1
\end{aligned}
Kembalikan ke persamaan semula:
\begin{aligned}
5x - 6y &= 30\\
5\left( - y^{'} + 4 \right) - 6\left( x^{'} + 1 \right) &= 30\\
- 5y^{'} + 20 - 6x^{'} - 6 &= 30\\
- 6x^{'} - 5y^{'} &= 16\\
6x + 5y &= - 16
\end{aligned}
Latihan
Tentukan hasil transformasi terhadap garis 3x - 4y = 7:
- Translasi (8, -9)
- Rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat (0, 0).
- Dilatasi sebesar \frac{1}{4} terhadap titik (1, 1).
- Translasi (3, 5) dilanjutkan dengan refleksi terhadap y = 5.
- Rotasi 90° searah jarum jam, dilanjutkan translasi (-1, -8),
kemudian refleksi terhadap x = 3.
Persamaan p ditransformasi sehingga hasil akhirnya adalah
2x + 5y = 10. Tentukan persamaan p jika transformasinya adalah:
- Translasi (3, -1)
- Rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat (1, -1).
- Dilatasi sebesar 3 terhadap titik (8, 4).
Translasi (1, -5) dilanjutkan dengan rotasi 90° berlawanan jarum jam
dengan pusat (0, 0).
Berikutnya: Transformasi 3 dimensi