Bilangan asli

Bagaimanakah kita mendefinisikan himpunan bilangan asli? Biasanya kita cukup mendaftar sebagian anggota bilangan asli, kemudian menyuruh orang melanjutkan sendiri sisanya.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}

Cara mendefinisikan seperti ini sangat jelas dan intuitif. Kita akan menilik cara mendefinisikan bilangan asli secara deduktif.

Untuk menyederhanakan, kita akan menggunakan cara penulisan bilangan:

1 = 🦝
2 = 🦝🦝
3 = 🦝🦝🦝
dan seterusnya.

Jadi sebuah bilangan asli dapat diwakili dengan deretan simbol 🦝.

Pertama, himpunan bilangan asli pasti memiliki bilangan bernilai 1 yang diwakili oleh sebuah simbol 🦝.

🦝 \in\mathbb{N}

Ini adalah titik mula untuk menghasilkan seluruh bilangan asli. Berarti ini adalah aksioma pertama.

🦝\in\mathbb{N}

Kemudian, karena bilangan asli dituliskan sebagai deretan simbol , maka kita bisa mendefinisikan bilangan asli berikutnya yaitu . Alih-alih langsung mendefinisikan bilangannya, kita akan menggunakan aturan seperti ini:

Katakanlah ada sebuah bilangan asli n yang entah nilainya berapa. Bilangan tersebut akan terdiri dari sejumlah rakun.

n = 🦝🦝🦝\ldots

Bilangan setelah n pasti adalah 🦝🦝🦝🦝... yang entah berapa panjangnya itu ditambah dengan sebuah 🦝.

... +

Kita dapat menuliskannya sebagai:

n🦝

Sebagai contoh, jika n bernilai 3, yang simbolnya 🦝🦝🦝. Berarti n🦝 akan bernilai 4.

n = 🦝🦝🦝

n🦝 = 🦝🦝🦝🦝

Ini berlaku untuk sembarang nilai n. Kita dapat menuliskannya sebagai:

\forall n\in\mathbb{N}:\,n🦝\in\mathbb{N}

yang dapat dituliskan sebagai aksioma 2.

A2 : \forall n\mathbb{\in N:}\ n\mathbb{\in N}

Sekarang kita telah memiliki dua aksioma.

A1 : \mathbb{\in N}

A2 : \forall n\mathbb{\in N:}\ n\mathbb{\in N}

Dengan ini saja, kamu sudah bisa memperoleh himpunan bilangan asli.

\mathbb{N} = \{🦝,\

Kemudian dengan menarik kesimpulan didapatkan:

\mathbb{N} = \{ 🦝, \\ 🦝🦝, \\ 🦝🦝🦝, \\ 🦝🦝🦝🦝, \\ ... \}

dan seterusnya.

Latihan

Berdasarkan sistem di atas, buktikan kebenaran kalimat-kalimat di bawah ini.
1. 1 ∈ ℕ
2. 3 ∈ ℕ
3. 2 ∈ ℕ
4. 4 ∈ ℕ
5. 8 ∈ ℕ
Diketahui bahwa u ∈ ℕ. Buktikan bahwa u juga merupakan anggota ℕ.
Diketahui bahwa a ∈ ℕ. Dapatkah kita membuktikan bahwa a juga merupakan anggota ℕ? Jika tidak, mengapa? Jika tidak, apakah berarti kalimat itu tidak dapat ditentukan kebenarannya?
Buktikan bahwa tidak ada k\in\mathbb{N} yang bilangan sesudahnya adalah 1. Tuliskan kalimat ini menggunakan kalimat matematika.
Apakah aksioma 1 dan 2 akan menghasilkan bilangan asli saja? Adakah kemungkinan bahwa barisan bisa bernilai lain selain bilangan asli?

Berikutnya: Bahasa