Padanan biner dan desimal

Bagaimana kita membentuk lambang bilangan desimal?

Notasi yang kita gunakan untuk menulis lambang bilangan desimal disebut sebagai notasi posisional. Dalam notasi posisional setiap posisi angka memiliki nilai yang berbeda. Sebagai contoh lambang bilangan 9494 berikut ini. Nilai angka 4 pada digit terkanan adalah benar-benar 4, tetapi nilai angka 4 pada digit ketiga dari kanan bukan lagi 4, melainkan 400.

Lambang Bilangan	9	4	9	4
Posisi	3	2	1	0
Pengali	×10³	×10²	×10¹	×10⁰
Nilai	9000	400	90	4

Mengapa setiap posisi memiliki nilai berbeda?

Jadi begini. Dalam sistem desimal, hanya ada 10 simbol (angka) yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Karena itu ketika kita menghitung urutan atau jumlah benda, kita akan segera kehabisan simbol ketika jumlah bendanya lebih dari 9.

Ketika jumlah objek lebih dari 9, kita kehabisan simbol.

	0
🐷	1
🐷 🐷	2
🐷 🐷 🐷	3
🐷 🐷 🐷 🐷	4
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	5
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	6
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	7
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	8
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	9
...

Dengan begitu kita perlu mengakali penulisannya dengan cara tertentu. Untuk sementara kita akan mengulang simbolnya dari awal. Simbol terakhir adalah 9, jadi kita mengulang dari simbol pertama yaitu 0.

Ketika jumlah objek lebih dari 9, kita mengulangnya dari simbol pertama.

	0
🐷	1
🐷 🐷	2
🐷 🐷 🐷	3
🐷 🐷 🐷 🐷	4
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	5
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	6
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	7
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	8
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	9
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	0
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	1
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	2
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	3
...

Namun jika demikian, bagaimana kita membedakan bilangan 0 yang pertama dengan kedua? Kita bisa mengakalinya dengan cara berikut: Anggap bahwa bilangan 0, 1, 2, 3 yang pertama memiliki awalan 0, dan bilangan 0, 1, 2, 3 yang kedua memiliki awalan 1.

Ketika jumlah objek lebih dari 9, kita mengulangnya dari simbol pertama, tetapi dengan memberi awalan 1.

	00
🐷	01
🐷 🐷	02
🐷 🐷 🐷	03
🐷 🐷 🐷 🐷	04
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	05
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	06
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	07
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	08
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	09
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	10
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	11
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	12
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	13
...

Dengan cepat bilangan ini akan habis juga. Ketika kita sampai pada bilangan 19, kita harus mengulang lagi dari 0, sehingga awalannya harus berubah lagi dari 1 ke 2, karena 2 adalah simbol setelah 1.

Ketika jumlah objek lebih dari 9, kita mengulangnya dari simbol pertama, tetapi dengan memberi awalan 1.

	00
🐷	01
🐷 🐷	02
🐷 🐷 🐷	03
...
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	19
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	20
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	21
🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷 🐷	22

Ini bisa diteruskan dengan aturan yang sama:

00, 01, 02, ..., 09, 10, 11, ... 19, 20, 21, ..., 29, 30, 31

Kemudian dengan aturan ini pun kita masih akan kehabisan simbol ketika sudah mencapai 99, sehingga kita akan menambah awalan lagi dan mengulang proses yang sama.

000, 001, 002, ..., 098, 099, 100, 101, 102, ...

Dengan demikian bilangan 9494 dapat kita bayangkan telah menempuh perjalanan seperti ini:

0000, 0001, ..., 0999, 1000, ..., 8999, 9000, ...

Yang berarti sudah mencapai 9000, lalu dilanjutkan:

9000, 9001, ..., 9399, 9400, ...

Lalu:

9400, 9401, ..., 9489, 9490, ...
9490, 9491, 9492, 9493, 9494

Jadi untuk mencapai 9494, kita perlu melalui 9000 bilangan dari 1 hingga 9000, lalu 400 bilangan dari 9001 hingga 9400, dilanjutkan 90 bilangan dari 9401 hingga 9490, baru terakhir 4 bilangan dari 9491 hingga 9494. Jadi 9494 berarti 9000 + 400 + 90 + 4.

Pangkat 10

Untuk menentukan nilai bilangan desimal, setiap angka harus dikalikan dengan 10 pangkat posisinya, dengan posisi 0 adalah paling kanan, 1 di sebelah kirinya, demikian seterusnya.

Dengan demikian, angka 9 pada posisi 1 — yaitu kedua dari kanan — akan memiliki nilai 90 sebagai hasil dari 9×10¹. Berbeda dengan angka 9 pada posisi 3, yaitu posisi terkiri, yang nilai sebenarnya adalah 9000 sebagai hasil dari 9×10³.

Lambang Bilangan	9	4	9	4
Posisi	3	2	1	0
Pengali	×10³	×10²	×10¹	×10⁰
Nilai	9000	400	90	4

Jadi rangkaian angka 9494 bukan diartikan sebagai 9 + 4 + 9 + 4, melainkan sebagai 9000 + 400 + 90 + 4.

Algoritma Horner

Kita juga dapat memandang nilai dari 9494 sebagai hasil polinomial 9x^3+4x^2+9x+4 dengan x=10, karena kita menggunakan basis 10 (10 simbol). Jadi nilai dari 9494 dapat dihitung menggunakan algoritma Horner. Hasil lengkap prosesnya adalah seperti di bawah ini.

	9	4	9	4
10	0	90	940	9490
	9	94	949	9494

Klik detail di bawah ini untuk melihat detail prosesnya.

Detail langkah menghitung nilai dari 9494

Pertama-tama, sediakan tabel seperti ini, dengan baris paling atas adalah lambang bilangannya. Beri spasi yang cukup lebar antar setiap digitnya.

	9	4	9	4
10

Di sisi sebelah kiri, tuliskan bilangan basisnya. Karena kita membicarakan bilangan desimal, basisnya adalah 10. Berikutnya kita akan mengisi seluruh tabel ini. Aturannya cukup dua saja. Yang pertama: Baris paling bawah adalah jumlah dari dua baris di atasnya. Jadi untuk kolom pertama, baris terbawah akan berisi 9 karena belum ada bilangan di baris kedua.

	9	4	9	4
10
	9

Setelah itu aturan kedua: Kalikan hasil yang didapat (9) dengan basis bilangannya (10). Hasilnya adalah 90. Tuliskan hasil ini pada baris kedua kolom berikutnya.

	9	4	9	4
10		90
	9

Kemudian jumlahkan kembali sesuai aturan pertama. Jadi 4 + 90 = 94.

	9	4	9	4
10		90
	9	94

Kalikan kembali hasilnya dengan 10, yang hasilnya adalah 940.

	9	4	9	4
10		90	940
	9	94

Jumlahkan kembali, hasilnya adalah 949.

	9	4	9	4
10		90	940
	9	94	949

Kalikan kembali dengan 10, menjadi 9490.

	9	4	9	4
10		90	940	9490
	9	94	949

Jumlahkan, hasil terkanan adalah 9494.

	9	4	9	4
10		90	940	9490
	9	94	949	9494

Karena sudah tidak ada lagi kolom, berarti bilangan terakhir ini mewakili nilai dari lambang bilangan 9494.

Walaupun contoh ini sekilas tampak tidak berguna, tetapi akan menjadi sangat berguna untuk membantu kita memahami aturan yang sama untuk mengubah lambang bilangan biner ke desimal.

Berikutnya: Mengubah biner ke desimal