Determinan matriks 3×3

Menentukan determinan matriks 3×3 prinsipnya sama.

\begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & -1 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{vmatrix}

Pertama, tentukan sebuah baris atau kolom. Misalnya baris dua. Tuliskan bilangan-bilangannya.

\begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & -1 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{vmatrix} = 3\hspace{4em}0\hspace{4em}(-1)\hspace{4em}

Kemudian, beri tanda + dan -. Karena baris yang dipilih adalah baris genap, berarti tandanya berselang seling mulai dari minus (-).

\begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & -1 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{vmatrix} = -3\hspace{4em}+0\hspace{4em}-(-1)\hspace{4em}

Tuliskan minor bagi masing-masing elemen yang sudah dituliskan. Minor adalah determinan hasil penghapusan baris dan kolom tempat elemen berada. Karena 3 adalah elemen (2, 1), berarti minor untuk 3 seluruh baris 2 dan kolom 1 dihapus. Demikian juga dengan yang lain.

\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & -1 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{vmatrix} &= -3 \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & -1 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{vmatrix} &+0 \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & -1 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{vmatrix} &-(-1) \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & -1 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{vmatrix}\\ &= -3 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 6 \\ \end{vmatrix} &+0 \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 6 \\ \end{vmatrix} &-(-1) \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 5 \\ \end{vmatrix}\\ \end{aligned}

Sekarang muncul determinan 2×2. Dengan menggunakan cara yang sudah dipelajari sebelumnya, masing-masing determinan dapat dihitung dengan mudah.

\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & -1 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{vmatrix} &= -3 \cdot 16 + 0 \cdot 20 - (-1) \cdot 6 \\ &= -48 + 0 + 6 \\ &= -42 \end{aligned}

Perhatikan bahwa terdapat proses yang bisa dihilangkan. Yang manakah itu?

Latihan

Tentukan determinan matriks-matriks berikut.
1. \begin{bmatrix} 1 & 6 & - 1 \\ - 7 & - 7 & - 1 \\ 7 & - 1 & 4 \\ \end{bmatrix}
2. \begin{bmatrix} 7 & - 5 & 2 \\ - 10 & 8 & - 4 \\ - 5 & 1 & - 1 \\ \end{bmatrix}
3. \begin{bmatrix} 6 & 8 & 7 \\ 9 & - 2 & 8 \\ 1 & - 7 & 0 \\ \end{bmatrix}
4. \begin{bmatrix} - 7 & - 10 & 4 \\ 6 & 4 & - 2 \\ - 4 & 6 & - 1 \\ \end{bmatrix}
5. \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 17 & 3 & 0 \\ 14 & 9 & - 2 \\ \end{bmatrix}
6. \begin{bmatrix} 8 & 4 & - 3 \\ 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix}
7. \begin{bmatrix} 1 & 2 & - 4 \\ 5 & 0 & 0 \\ - 4 & 3 & 0 \\ \end{bmatrix}
8. \begin{bmatrix} 1 & 6 & 3 \\ 1 & 5 & 4 \\ - 2 & - 10 & - 8 \\ \end{bmatrix}
9. \begin{bmatrix} 1 & 3 & 10 \\ 4 & 3 & 10 \\ - 3 & - 5 & 2 \\ \end{bmatrix}

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}

\det A = \ldots

Hitunglah \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 4 \\ 9 & 7 & 8 \\ \end{matrix} \right|
M = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 14 & 4 & 0 \\ 19 & 23 & - 3 \\ \end{bmatrix} Tentukan determinan M.

Matriks, Determinan, dan Ibu

Istilah matriks pertama kali diperkenalkan oleh James Joseph Sylvester (1814 –1897), seorang ahli matematika Inggris.

Kata Matriks berasal dari kata mater yang berarti ibu (bahasa Inggris: mother). Dalam perkembangannya, istilah matriks berarti rahim, yaitu organ dalam tubuh seorang ibu tempat janin berkembang hingga akhirnya lahir.

Permasalahan matriks bermula dari usaha manusia untuk memecahkan sistem persamaan linear. Dalam pemecahan sistem persamaan linear, terdapat faktor pembagi yang selalu muncul, yang disebut sebagai determinan.

Determinan berguna untuk menentukan (determine) bahwa sistem persamaan linear memiliki penyelesaian yang unik atau tidak.

Determinan dihitung berdasarkan bilangan-bilangan yang menjadi koefisien dalam sistem persamaan linear.

Matriks adalah struktur matematis yang menghasilkan determinan. Karena itulah matriks disebut matriks: Karena matrikslah ibu yang melahirkan determinan.

Berikutnya: Matriks singular