Gambar besar bab ini

Dalam bab ini kita akan mempelajari sejumlah pemikiran penting dalam sejarah matematika, yang dipusatkan pada tokoh-tokoh tertentu. Tentu saja tidak semua detail perkembangan pengetahuan matematika dapat dibahas. Kita akan memusatkan perhatian pada satu hal: Matematika sebagai sistem deduktif.

Matematika sebagai badan pengetahuan deduktif dimulai dari Euclid. Pertama-tama kita akan melihat sekilas buku Euclid yang berjudul Elements, buku geometri pertama yang disusun sebagai sistem deduktif. Hasil karya Euclid ini mempengaruhi zaman sesudahnya, karena ternyata ada suatu bentuk kebenaran yang tidak dapat dibantah: Kebenaran logika, geometri, dan aritmetika. Hal-hal lain masih dapat diperdebatkan. Jadi tampaknya Euclid telah menemukan suatu kebenaran yang tak terbantahkan.

Namun berabad-abad setelahnya, muncullah orang-orang yang mempertanyakan kebenaran sistem Euclid ini. Tampaknya, mereka berhasil menunjukkan bahwa yang ditemukan Euclid bukanlah satu-satunya kebenaran. Ada kebenaran yang lain, yang sama benarnya, tetapi membicarakan hal yang berbeda.

Pada akhir abad 19, ada Georg Cantor yang berani mengutak-utik ketakberhinggaan. Beliau menemukan hal-hal yang mengejutkan ketika mempelajari ketakberhinggaan, tetapi ada satu hal yang tak dapat ia buktikan. Ini mendorong matematikawan sesudahnya untuk mempertanyakan pertanyaan penting dalam perkembangan matematika: Apakah matematika komplet? Apakah setiap pernyataan matematika selalu bisa dibuktikan?

David Hilbert di awal abad 20 memiliki impian bahwa matematika di masa depan akan dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan yang pada waktu itu belum terjawab. Salah satunya adalah mengenai matematika harus komplet dan konsisten: Bagaimana membuktikan bahwa matematika komplet dan konsisten?

Bertrand Russell bersama Alfred North Whitehead mencoba menyusun keseluruhan matematika menjadi sebuah sistem deduktif besar, yang akan dapat digunakan untuk membuktikan semua pernyataan matematika secara komplet.

Sayangnya, berikutnya muncul Kurt Godel dan Alan Turing yang merusak impian tersebut, karena mereka menemukan pernyataan-pernyataan yang tak dapat dibuktikan. Ini menunjukkan bahwa matematika tidak dapat komplet. Lebih jauh lagi, Godel menunjukkan bahwa konsistensi matematika tak dapat dibuktikan.

Berikutnya: Mengapa mempelajari hal ini penting?