Apakah akar 2 bilangan irasional?

Apakah \sqrt{2} adalah bilangan irasional? Kita tidak dapat begitu saja mengatakan bahwa ini adalah bilangan rasional atau bukan. Kita perlu membuktikannya.

Cara yang tidak efektif

Kita tahu bahwa bilangan rasional akan memiliki ekor segmen digit yang berulang, sementara bilangan irasional tidak.

Kita bisa saja menghitung penjabaran desimal dari \sqrt{2}, sambil mengamati apakah pola yang dihasilkan berulang atau tidak. Berikut ini 1033 digit pertama dari \sqrt{2}.

  1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621 07038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212644121497099935831 41322266592750559275579995050115278206057147010955997160597027453459686201472851 74186408891986095523292304843087143214508397626036279952514079896872533965463318 08829640620615258352395054745750287759961729835575220337531857011354374603408498 84716038689997069900481503054402779031645424782306849293691862158057846311159666 87130130156185689872372352885092648612494977154218334204285686060146824720771435 85487415565706967765372022648544701585880162075847492265722600208558446652145839 88939443709265918003113882464681570826301005948587040031864803421948972782906410 45072636881313739855256117322040245091227700226941127573627280495738108967504018 36986836845072579936472906076299694138047565482372899718032680247442062926912485 90521810044598421505911202494413417285314781058036033710773091828693147101711116 83916581726889419758716582152128229518488472089694633862891562882765952635140...

Cara ini tidak efektif. Bisa jadi kita akan menemukan pola berulang di digit ke-sekian, misalnya pola 1938257925 - 1938257925 - 1938257925, tetapi belum tentu digit berikutnya masih berulang lagi.

Demikian juga ketiadaan digit berulang hingga posisi tertentu tidak menjamin bahwa seterusnya tidak ada digit berulang kembali.

Jadi algoritma ini tidak dapat dipakai. Kita perlu cara pembuktian yang lebih baik.

Sketsa pembuktian

Alih-alih membuktikan langsung bahwa \sqrt{2} bilangan irasional, kita akan mengandaikan bahwa \sqrt{2} adalah bilangan rasional. Setelah itu, kita akan menyelidiki konsekuensi dari pengandaian ini. Jika konsekuensinya mengandung kontradiksi, berarti pengandaian tersebut salah. Jika konsekuensinya konsisten dengan pengandaian ini, berarti kita perlu membuktikan menggunakan cara lain.

Tahap pertama: Hipotesis nol

Mari kita andaikan bilangan \sqrt{2} adalah bilangan rasional.

H_0: \sqrt{2} bilangan rasional

Dalam notasi himpunan:

H_0: \sqrt{2} \in \mathbb{Q}

Berarti bilangan tersebut dapat dinyatakan sebagai:

\begin{aligned} \sqrt{2} = \frac{a}{b} \\ a,b \in \mathbb{Z} \end{aligned}

Notasi untuk pemberani

Kalau kamu pemberani, notasi yang lebih tepat dapat dituliskan menggunakan kuantifier eksistensial: H_0: \exist a \in \mathbb{Z}: \exist b \in \mathbb{Z}: \sqrt{2} = \frac{a}{b} Dibaca sebagai, "Ada bilangan bulat a, b yang mengakibatkan akar 2 sama dengan a/b."

Cukup aman untuk mengandaikan bahwa a dan b sama-sama bilangan bulat positif. Kalau keduanya negatif, kita dapat mengambil bentuk yang sudah disederhanakan dengan membagi pembilang maupun penyebut dengan -1. Keduanya pasti sama-sama positif karena hasilnya adalah \sqrt{2} yang juga positif. b juga tidak mungkin 1 karena jika b=1, berarti a=\sqrt{2}, dan kita tidak membuktikan apa-apa. Jadi hingga saat ini, syarat untuk a dan b adalah:

a dan b bilangan bulat.
a>1 dan b>1

Tahap 2: Konsekuensi

Mari kita ubah dulu bentuknya agar tidak mengandung pecahan:

\begin{aligned} \sqrt{2} &= \frac{a}{b} \\ b \sqrt{2} &= a \end{aligned}

Representasi faktor prima

Tentunya kamu ingat bahwa setiap bilangan bulat positif dapat dituliskan sebagai dirinya sendiri maupun sebagai perkalian faktor-faktor primanya. Misalnya 6=2×3, 50=2×5², 1176=2³×3;×7². Bilangan 5, 2, dan 17 dapat dituliskan sebagai bilangan tunggal karena merupakan bilangan prima. Bilangan 1 juga cukup dituliskan sebagai bilangan tunggal, tetapi kita tidak perlu memikirkannya karena di luar syarat a maupun b yang telah ditentukan sebelumnya.

Kuadrat faktor prima

Berikut ini hal penting dari pemfaktoran bilangan prima, yang ada hubungannya dengan pembuktian kita. Ketika kita menyatakan suatu bilangan sebagai faktor prima, maka faktor prima bilangan kuadrat akan selalu memiliki pangkat genap.

\begin{aligned} 6 &= 2\times 3\\ 36 &= 4 \times 9\\ 6^2 &= 2^2 \times 3^2\\ \end{aligned}

\begin{aligned} 1176 &= 2^3\times 3\times 7^2\\ 1176^2 &= 2^6 \times 3^2 \times 7^4\\ \end{aligned}

Karena kita belum tahu apakah a bilangan prima atau komposit, demikian juga b, kita andaikan lagi bahwa masing-masing dapat dinyatakan sebagai faktor primanya. Karena kita tidak tahu berapakah a maupun b, maka faktor primanya kita tulis sebagai rangkaian perkalian p untuk a, dan q untuk b.

\begin{aligned} a &= {p_1}^{u_1} \times {p_2}^{u_2} \times ... \times {p_m}^{u_m}\\ b &= {q_1}^{v_1} \times {q_2}^{v_2} \times ... \times {q_n}^{v_n} \end{aligned}

Yang berarti kuadrat dari masing-masing akan memiliki faktor prima berpangkat genap.

\begin{aligned} a^2 &= {p_1}^{2 u_1} \times {p_2}^{2 u_2} \times ... \times {p_m}^{2 u_m}\\ b^2 &= {q_1}^{2 v_1} \times {q_2}^{2 v_2} \times ... \times {q_n}^{2 v_n} \end{aligned}

Sekarang kalau kita kuadratkan bentuk sebelumnya, yang terjadi ialah:

\begin{aligned} b \sqrt{2} &= a \\ \left(b \sqrt{2}\right)^2 &= a^2 \\ 2b^2 &= a^2\\ \end{aligned}

Hasil ini menunjukkan bahwa a² haruslah mengandung faktor 2, karena ruas kiri mengandung faktor 2. Namun, karena ruas kanan berbentuk a², berarti faktor 2 di sebelah kanan haruslah berpangkat genap.

\begin{aligned} 2b^2 &= a^2\\ 2b^2 &= 2^{genap} \times ? \end{aligned}

Sekarang kita lihat ruas kiri. b² kita tidak tahu mengandung faktor 2 atau tidak, tetapi seandainya ada, faktor 2 dalam b² pastilah berpangkat genap. Karena ruas kiri adalah b² dikali 2, berarti ruas kiri secara keseluruhan mengandung faktor 2 dengan pangkat ganjil.

\begin{aligned} 2b^2 &= a^2\\ 2\times 2^{genap} \times ? &= a^2\\ 2^{ganjil}\times ? &= a^2 \end{aligned}

Dari sini berarti ruas kiri mengandung faktor 2 dengan pangkat ganjil, dan ruas kanan mengandung faktor 2 dengan pangkat genap. Tidak bisa demikian, karena keduanya harus sama. Jadi hasil ini kontradiktif.

\begin{aligned} 2^{ganjil}\times ? &= a^2 \\ 2^{ganjil}\times ? &= 2^{genap}\times ? \\ \end{aligned}

Karena kontradiktif, berarti asumsi awal yang kita buat (H_0) adalah salah, yaitu bahwa \sqrt{2} adalah bilangan rasional. Karena asumsi tersebut salah, kesimpulannya adalah negasinya, yaitu: \sqrt{2} merupakan bilangan irasional.

QED.

Berikutnya: Ada berapa banyak bilangan prima?