Bilangan real

Bilangan rasional maupun irasional banyak muncul dalam pengukuran yang dilakukan dalam dunia nyata. Karena itulah kedua bilangan ini disebut sebagai bilangan real. Simbol yang dipakai untuk mewakili bilangan real adalah \mathbb{R}.

Tetangga terdekat

Dalam himpunan bilangan bulat, sangat mudah untuk mencari tetangga terdekat dari suatu bilangan. Bilangan bulat dapat dibayangkan tinggal dalam rumah-rumah yang terpisah satu sama lain.

Dengan membayangkan bilangan bulat yang tinggal dalam rumah deret semacam ini, berarti kita dapat menemukan tetangga terdekat sebuah bilangan dengan mudah. Tetangga terdekat sebelah kiri 6 adalah 5, sementara di sebelah kanannya 7.

...	4	5	6	7	8	9	...
		tetangga kiri 6		tetangga kanan 6

Berbeda dengan bilangan bulat, bilangan real tidak memiliki tetangga terdekat.

Ilustrasi: Tetangga terdekat (blur) — Mungkin seperti inilah keadaan rumah deret bilangan real. Tidak ada batas peralihan antara satu bilangan real dengan yang lain.

Mengapa bilangan real tidak memiliki tetangga terdekat?

Untuk memahami mengapa demikian, simaklah percakapan antar bilangan berikut ini.

6
Hai 7! Kamu adalah tetanggaku yang terdekat!
7
Maaf, kita sebenarnya tidak sedekat itu.
6
Hah? Mengapa kamu berkata begitu?
7
Maafkan aku, 6. Tetapi 6.5 lebih dekat denganku.
6
Astaga! Mengapa kamu tega berbuat demikian?
6.5
Heheheh. Aku lebih dekat dengan 7 daripada kamu.
6.75
Tunggu dulu, 6.5! Aku lebih dekat dengan 7 daripada kamu! Akulah yang terdekat dengan 7!
6.875
Yakin kau? Aku dari tadi diam saja, karena berpikir bahwa kalian akan sadar diri. Sudah jelas aku lebih dekat ke 7. Jadi akulah yang paling dekat.
6.9375
Hmmm.. Saatnya aku berbicara.

Kapan pertengkaran ini akan berakhir? Jawabannya: Tidak akan pernah. Selalu akan ada bilangan baru yang lebih dekat pada 7.

Pembuktian yang lebih baik:

Diberikan dua bilangan real berbeda, yaitu a dan b. Apakah b adalah tetangga terdekat a?

Di antara a dan b dapat ditemukan bilangan baru, yaitu c yang adalah rata-rata keduanya. c=\frac{a+b}{2}. Dengan demikian b bukanlah tetangga terdekat a.

Mengulangi proses yang sama, kita dapat mengatakan bahwa c juga bukanlah tetangga terdekat a, karena ada bilangan d=\frac{a+c}{2} yang lebih dekat ke a daripada c.

Proses ini dapat dilanjutkan terus menerus, karena setiap bilangan real yang berbeda akan memiliki setidaknya satu bilangan real di antaranya.

Dengan demikian, setiap bilangan real tidaklah memiliki tetangga terdekat.

Bilangan real positif terkecil?

Karena setiap bilangan real tidak memiliki tetangga terdekat, hal ini juga akan berlaku untuk bilangan nol, karena bilangan nol termasuk bilangan real.

Jika ada bilangan positif terkecil, pastilah bilangan tersebut akan menjadi tetangga terdekat nol. Karena nol tidak memiliki tetangga terdekat, berarti bilangan positif terkecil juga tidak ada.

Mengapa kita perlu bilangan real?

Untuk menghitung banyaknya benda, kita cukup menggunakan bilangan asli. Namun dalam pengukuran, kita sering berjumpa dengan jumlah yang tidak utuh (misalnya 3.6 cm) sehingga kita juga memerlukan bilangan rasional. Hasil pengukuran seringkali digunakan dalam perhitungan tertentu yang menghasilkan bilangan irasional (seperti pada contoh diagonal persegi). Karena itu kita memerlukan bilangan real.

Berikutnya: Bilangan imajiner