Perkalian pada bilangan bulat

Perkalian dengan nol

Berapakah perkalian bilangan dengan nol?

Kita dapat menalar secara mundur berdasarkan definisi perkalian sebagai penjumlahan berulang untuk menemukan hasil yang paling masuk akal untuk perkalian dengan nol.

\begin{aligned} 3\times 5 &= 5 + 5 + 5 \\ 2\times 5 &= 5 + 5 \\ 1\times 5 &= 5 \\ \end{aligned}

Dengan melihat jumlah bilangan yang berkurang, tampaknya kita dipaksa untuk melanjutkannya seperti ini:

\begin{aligned} 3\times 5 &= 5 + 5 + 5 &= 15\\ 2\times 5 &= 5 + 5 &= 10\\ 1\times 5 &= 5 &= 5\\ 0\times 5 &= &= ?\\ \end{aligned}

Ini membuat kalimat terakhir menjadi tidak bermakna karena hasil penjumlahan sebelumnya selalu berupa bilangan.

Namun kalau kita menggunakan sifat bahwa penjumlahan dengan nol tidak mengubah nilai, kita dapat memaksakan keluarnya suku nol dalam setiap baris perkalian di atas. Sebagai akibatnya, baris terakhir juga akan tetap memiliki bilangan di ruas kanan.

\begin{aligned} 3\times 5 &= 0 + 5 + 5 + 5 &= 15\\ 2\times 5 &= 0 + 5 + 5 &= 10\\ 1\times 5 &= 0 + 5 &= 5\\ 0\times 5 &= 0 &= 0\\ \end{aligned}

Dengan demikian kita dapat dengan aman mendefinisikan bahwa perkalian 0 dengan 5 akan menghasilkan nilai nol. Namun kita perlu memastikan juga bahwa cara berpikir ini tidak berlawanan dengan aturan lain yang telah kita ketahui, yaitu aturan komutatif.

\begin{aligned} 0\times 5 &= 0 \\ 5\times 0 &= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 &= 0\\ \end{aligned}

Jadi ternyata 0\times 5 = 5\times 0, sesuai dengan aturan komutatif.

Secara umum kita dapat mendefinisikan perkalian dengan nol sebagai:

0\times a = a \times 0 = 0

Perkalian dengan bilangan negatif

Bilangan bulat mencakup bilangan negatif, sehingga kita akan mempertimbangkan perkalian antara -1 dengan bilangan bulat lainnya.

Dengan menalar menggunakan cara yang sama, kita dapat meneruskan pola perkalian sebelumnya.

\begin{aligned} 3\times 5 &= 0 + 5 + 5 + 5 \\ 2\times 5 &= 0 + 5 + 5 \\ 1\times 5 &= 0 + 5 \\ 0\times 5 &= 0 \\ -1\times 5 &= 0...? \\ \end{aligned}

Apakah definisi yang paling baik untuk perkalian berikutnya? Karena negatif adalah kebalikan dari positif, bagaimana kalau kita melakukan pengurangan alih-alih penambahan?

\begin{aligned} 3\times 5 &= 0 + 5 + 5 + 5 &= 15\\ 2\times 5 &= 0 + 5 + 5 &= 10 \\ 1\times 5 &= 0 + 5 &= 5\\ 0\times 5 &= 0 &= 0\\ -1\times 5 &= 0 - 5 &= -5\\ -2\times 5 &= 0 - 5 - 5 &= -10\\ -3\times 5 &= 0 - 5 - 5 - 5 &= -15\\ \end{aligned}

Sejauh ini tampaknya cukup masuk akal untuk mendefinisikan perkalian negatif sebagai pengurangan berulang. Jika ini definisi yang baik, seharusnya konsisten dengan aturan lainnya yang telah kita ketahui, yaitu komutatif.

-2 \times 5 = 5 \times -2

Apakah benar demikian? Jika kita masih menggunakan definisi perkalian sebagai penjumlahan berulang, kita dapat menuliskan keduanya sebagai:

\begin{aligned} -2 \times 5 &= 5 \times -2 \\ 0 - 5 - 5 &= (-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) \\ -10 &= -10 \end{aligned}

Perhatikan bahwa 0 - 5 - 5 juga dapat dituliskan sebagai 0 + (-5) + (-5).

Tepat sama. Jadi kita bisa menggeneralisasikan aturan perkalian bilangan asli menjadi aturan perkalian untuk bilangan bulat.

\begin{aligned} -n\times a &= \underbrace{(-a) + (-a) + ... + (-a)}_{\text{sebanyak }n\text{ kali}} \end{aligned}

Latihan

Berikutnya: Pangkat