Bilangan tak berhingga

Dika
Ayahku orang paling kaya di kota ini.
Susi
Nggak! Ayahku yang paling kaya.
Dika
Memangnya berapa uang ayahmu?
Susi
Satu juta!
Dika
Cuma satu juta belum kaya. Ayahku punya uang satu milyar!
Susi
Itu satu juta cuma di dompet. Sebenarnya ayahku punya uang 10 milyar di bank.
Dika
Ayahku juga. Satu milyar itu cuma di bawah bantal. Yang di bank ada 100 milyar.
Susi
Ayahku punya tabungan 1 triliun di luar negeri.
Dika
Kalau di luar negeri, ayahku punya tabungan 1 milyar triliun.

Pembicaraan anak-anak ini tidak akan pernah berakhir, bukan? Mereka bisa berlomba-lomba menyebutkan bilangan yang lebih besar dari yang telah disebutkan sebelumnya tanpa pernah ada satupun pemenang. Mengapa ini tidak bisa diakhiri? Karena selama kita menggunakan sistem bilangan real, kita dapat membuat bilangan sebesar apapun yang kita mau, walaupun penyebutan dan penulisannya akan menjadi sangat tidak efisien. Tidak ada batas atas bagi bilangan real.

Namun bagaimana jika kita mengandaikan ada suatu bilangan yang lebih besar dari semua bilangan real? Bilangan tersebut telah diandaikan sejak lama, yang disebut sebagai tak berhingga (infinity).

Apakah tak berhingga sendiri merupakan bilangan? Kita bisa memperdebatkan kebilanganan dari tak berhingga, dan ahli matematikapun tidak tentu sepakat satu sama lain. Namun dalam buku ini, tak berhingga didefinisikan sebagai bilangan.

Tak berhingga (infinity) adalah bilangan yang melampaui semua bilangan real.

\begin{aligned} 1 < \infty \\ 1000000 < \infty\\ 1000000^{1000000} < \infty \end{aligned}

Ini berarti bahwa sembarang bilangan real yang kita sebutkan, pasti akan kurang dari tak berhingga.

x \in \mathbb{R} \Rightarrow x < \infty

Ini juga berarti bahwa bilangan ini tidak mungkin termasuk dalam himpunan bilangan real.

\infty \notin \mathbb{R}

Ilustrasi: Anak-anak bertengkar (tak berhingga)

Setidaknya ada tiga macam ketakberhinggaan yang muncul dalam pembicaraan mengenai bilangan. Yang barusan kita bicarakan disebut sebagai tak berhingga positif atau untuk kepraktisan sekadar disebut tak berhingga saja.

Tak berhingga negatif

Selain tak berhingga yang lebih dari semua bilangan real, ada juga tak berhingga yang kurang dari semua bilangan real. Ini disebut sebagai ... tebak namanya ... tak berhingga negatif (negative infinity)!

-\infty

Bilangan real apapun yang kita sebutkan, pasti akan bernilai lebih dari tak berhingga negatif.

x \in \mathbb{R} \Rightarrow -\infty < x

Seperti halnya dengan tak berhingga positif, tak berhingga negatif juga bukan anggota himpunan bilangan real.

-\infty \notin \mathbb{R}

Infinitesimal

Kalau infinity adalah bilangan yang tak berhingga besarnya, infinitesimal adalah bilangan yang tak berhingga kecilnya, tetapi bukan nol.

Berbeda dengan tak berhingga, infinitesimal tidak memiliki simbol resmi. Namun agar kita dapat menyebut namanya, mari kita sebut sebagai dx. dx lebih kecil dari semua bilangan real positif, tetapi lebih besar dari nol.

x>0 \Rightarrow 0 < dx < x

Infinitesimal tidak ada dalam himpunan bilangan real, karena sebenarnya tidak ada bilangan real positif terkecil. Karena itu infinitesimal bukanlah anggota himpunan bilangan real.

dx \notin \mathbb{R}

Walaupun ketiga bilangan di atas bukan termasuk sebagai bilangan real, tetapi pembicaraan mengenai aritmetika bilangan real hampir tidak dapat dilakukan tanpa pernah menyebut salah satu dari mereka, terutama dua yang pertama.

Berikutnya: Bilangan-bilangan yang lebih keren