Akar

Berapakah nilai dari 5^2? Setelah mempelajari mengenai pangkat, tentunya kamu dapat menghitungnya dengan mudah.

5^2=5\times 5=25

Namun bagaimana jika sekarang pertanyaannya dibalik: Berapakah bilangan yang jika dipangkatkan 2 adalah 25? Berarti kita perlu membalik proses berpikirnya.

25 = ... \times ... = ...^2

Yang dapat dituliskan dengan variabel:

25 = x \times x = x^2

Anggap kamu belum tahu jawabannya. Dengan mencoba-coba satu per satu bilangan untuk x, kamu akan bisa mendapatkan bilangan yang benar.

\begin{aligned} 1^2 &\ne 25 \\ \left(\frac{3}{2}\right)^2 &\ne 25 \\ 2^2 &\ne 25 \\ 3^2 &\ne 25 \\ 4^2 &\ne 25 \\ 5^2 &= 25 \, \checkmark \end{aligned}

Nilai 5 ini disebut sebagai akar dari 25.

Nilai utama (principal value)

Kita perlu berhati-hati ketika membicarakan akar. Misalnya dalam kasus 5² di atas. Hasilnya adalah 25. Namun 5 bukan satu-satunya bilangan yang jika dikuadratkan adalah 25. Ada bilangan lain yang jika dikuadratkan juga 25, yaitu -5 (negatif 5). Jadi baik bilangan 5 maupun -5 sama-sama akan menghasilkan 25 ketika dikuadratkan.

\begin{aligned} 5^2 &= 5 \times 5 &= 25 \\ (-5)^2 &= -5 \times -5 &= 25 \end{aligned}

Bukan hanya 5 dan -5 yang menghasilkan bilangan yang sama ketika dikuadratkan. 4 dengan -4 juga demikian. 8 dan -8 juga demikian. Coba pikirkan sejumlah bilangan lainnya.

Jika tidak terpikir...

Jika kamu tidak terpikirkan, berikut ini adalah beberapa contoh lainnya. \begin{aligned} 2^2 &= (-2)^2 &= 4 \\ 10^2 &= (-10)^2 &= 100 \\ \left(\frac{3}{4}\right) &= \left(-\frac{3}{4}\right)^2 &= \frac{9}{16} \\ \end{aligned}

Karena hampir (hampir?) selalu ada dua bilangan yang berbeda yang dikuadratkan menjadi bilangan yang sama, maka kita perlu membedakan sebutan yang satu dengan yang lainnya.

Dalam contoh 5 dan -5 sebelumnya, nilai 5 disebut sebagai nilai utama atau akar utama. Kita memilih nilai yang positif karena secara alami kita menghitung menggunakan bilangan positif.

Walaupun baik 5 maupun -5 jika dikuadratkan adalah 25, tetapi yang disebut sebagai akar utama adalah 5 yang positif.

Gambar dari freepik

Notasi akar utama

Untuk secara praktis menyebut akar utama, kita membutuhkan simbol yang tidak multi-tafsir. Perkenalkan: Simbol itu adalah simbol akar (\sqrt{}). Jika bilangannya adalah a, maka \sqrt{a} adalah bilangan yang dikuadratkan menjadi a.

Akar: \sqrt{a} adalah akar utama dari a.
Berarti \left(\sqrt{a}\right)^2 = a, dan \sqrt{a}\ge 0 (hanya boleh nol atau positif).

\begin{aligned} \sqrt{25} = 5 &\text{ karena } 5^2 = 25 &\text{ dan } 5 \ge 0 \\ \sqrt{9} = 3 &\text{ karena } 3^2 = 9 &\text{ dan } 3 \ge 0 \\ \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} &\text{ karena } \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} &\text{ dan } \frac{3}{2} \ge 0 \\ \end{aligned}

Asal-usul simbol akar

Awalnya, Leonardo Da Pisa menggunakan simbol R dengan coretan diagonal, sesuai deskripsi oleh Florian Cajori dalam History of Mathematical Notations. Kira-kira simbolnya mirip dengan simbol modern untuk resep dalam dunia kedokteran.

R + / = ℞

Pemilihan huruf R ini berasal dari kata dalam bahasa latin *radix" yang berarti akar.

Pada tahun 1525 Christoff Rudolff menuliskan untuk pertama kalinya sebagai huruf r kecil yang agak besar 🤔. Simbol inilah yang kita pakai hingga sekarang.

r → √ → \sqrt{25}

Sumber: Earliest Uses of Symbols of Operation

Jadi simbol akar (\sqrt{}) dimaksudkan untuk selalu menghasilkan nilai akar utama dari sebuah bilangan, bukan yang negatif.

\begin{aligned} \sqrt{25} &= +5 \\ \sqrt{25} &\ne -5 \\ \end{aligned}

Ini berarti kalimat, x kuadrat adalah 25 dengan x adalah akar 25 memiliki arti yang berbeda!

\begin{aligned} x^2 = 25 &\not\equiv x = \sqrt{25} \\ x\text{ kuadrat adalah 25} &\not\equiv x\text{ adalah akar 25} \\ \end{aligned}

Mengapa berbeda? Karena untuk kalimat di sebelah kiri, nilai x bisa 5 atau -5. Sementara untuk kalimat di sebelah kanan, nilai x hanya boleh 5 saja.

Kesalahan yang sering terjadi

Kita dapat menuliskan hal ini sebagai:

\sqrt{a}=b \implies b^2=a

Berarti jika kita mengetahui fakta bahwa \sqrt{64}=8, kita dapat menyimpulkan bahwa 8^2=64.

Namun hati-hati, ini tidak berlaku sebaliknya:

b^2=a \nRightarrow \sqrt{a}=b

Berarti dengan sekadar mengetahui fakta bahwa (-8)^2=64, kita tidak boleh langsung menyimpulkan bahwa \sqrt{64}=-8.

Berikutnya: Referensi

Tautan & referensi halaman ini