Penggunaan disjungsi dalam aljabar

Dalam aljabar bilangan kita memerlukan disjungsi. Misalnya pada persoalan kuadrat dalam domain bilangan real berikut ini.

Diberikan persamaan x^{2} + 5x + 6 = 0, berapakah nilai x?

Kita dapat memfaktorkan ekspresi di sebelah kiri menjadi:

\begin{aligned} x^2 + 5x + 6 &= 0 \\ (x + 3)(x + 2) &= 0\\ \end{aligned}

Perkalian dua bilangan hanya dapat memberikan hasil nol jika salah satu atau keduanya nol. Ini dapat dituliskan sebagai disjungsi.

\begin{aligned} A &\cdot B = 0 \\ A = 0 &\vee B = 0 \\ \\ (x+3)&\cdot(x+2) = 0 \\ x + 3 = 0 &\vee x + 2 = 0\\ \end{aligned}

Dengan demikian nilai x yang mungkin adalah:

\begin{aligned} x + 3 = 0 &\vee x + 2 = 0\\ x = -3 &\vee x = - 2\\ \end{aligned}

Tentukan x jika x^{2}-2x-15 \neq 0

Alih-alih menentukan penyelesaian pertidaksamaannya secara langsung, lebih baik kita menentukan terlebih dahulu penyelesaian untuk persamaan x^2 - 2x - 15 = 0

\begin{aligned} x^2 - 2x - 15 &= 0\\ (x-5)(x+3) &= 0 \end{aligned}

Penyelesaiannya adalah:

x = 5 \lor x = -3

Karena yang diinginkan adalah negasi dari x^2 – 2x – 15 = 0, maka penyelesaiannya dapat ditentukan menggunakan hukum De Morgan, yaitu:

\neg(x=5) \land \neg(x=-3)

Yang bisa ditulis kembali sebagai:

x \neq 5 \land x \neq -3

Dibaca: x bukan 5 dan bukan -3.

Berikutnya: Implikasi